Чтобы играть в шахматы, нужно обязательно уметь считать. Ведь каждая фигура стоит определённое количество очков. Если не знать, какая фигура дороже, то и не поймёшь, стоит ли отдавать одну фигуру за другую. И даже не будешь знать, выигрываешь ты в данный момент или проигрываешь.
Наблюдая за игрой начинающих шахматистов, вы можете заметить, что они считают простое количество срубленных фигур. Но это неправильно, ведь шахматы — это не шашки. Фигуры не равноценны, поэтому надо считать не их количество, а суммировать стоимость очков каждой срубленной фигуры. Например, если белые срубили 8 пешек, а чёрные одного ферзя, то у чёрных преимущество, ведь один ферзь стоит 9 пешек.
У себя на занятиях шахматами я целый урок посвящаю умению считать. Я предлагаю детям различные сочетания фигур, а они должны определить их полную стоимость. Или предлагаю набрать разными фигурами определённое количество очков. Получается, что шахматы на начальном этапе — это голая математика.
А как обстоит дело на более продвинутом этапе? Об этом нам даст представление следующая задача.
Задача о зёрнах на шахматной доске
Согласно одной из легенд, шахматы придумал мудрец по имени Сисса, который показал своё изобретение правителю страны. Тому так понравилась игра, что он дал изобретателю право самому выбрать награду. Мудрец попросил у короля за первую клетку шахматной доски заплатить ему одно зерно пшеницы, за вторую — два, за третью — четыре и так далее, удваивая количество зёрен на каждой следующей клетке. Правитель, не разбиравшийся в математике, быстро согласился, даже несколько обидевшись на столь невысокую оценку изобретения, и приказал казначею подсчитать и выдать изобретателю нужное количество зерна. Однако, когда неделю спустя казначей всё ещё не смог подсчитать, сколько нужно зёрен, правитель спросил, в чём причина такой задержки. Казначей показал ему расчёты и сказал, что расплатиться невозможно, разве только осушить моря и океаны и засеять всё пространство пшеницей.
Количество зерна примерно в 1800 раз превышает мировой урожай пшеницы за год (в 2008/09 году урожай составил 686 млн тонн), то есть превышает весь урожай пшеницы, собранный за всю историю человечества. Количество зёрен составляет примерно 0,0031 % числа Авогадро. В единицах массы: если принять, что одно зёрнышко пшеницы имеет массу 0,065 грамма (Troy grain тройское зерно: 1 gr = 0,06479891 гран), тогда общая масса пшеницы на шахматной доске составит 1200 миллиардов тонн или 1,2 триллиона тонн:
В этой легенде мы имеем дело с геометрической прогрессией, то есть с математикой. Эта задача не бессмысленна, она позволяет понять, насколько многообразны шахматы. На первом ходу белые могут сделать 20 разных ходов — 16 пешками и 4 конями. И в ответ на каждый из этих 20 ходов чёрные также могут ответить 20 ходами. Таким образом, после первого хода белых и чёрных могут сложиться 400 различных позиций. Учитывая, что партия в среднем длится 40 ходов и на каждом ходу количество вариантов катастрофически увеличивается, просчитать шахматную партию с первого до последнего хода не под силу даже самым современным компьютерам. Обычно компьютеры не думают дальше, чем на 8-10 полуходов (4-5 ходов белых плюс 4-5 ходов чёрных). Ведь даже такая глубина расчёта требует серьёзных затрат времени на обдумывание (несколько минут). Сильнейшие аналитические компьютеры, используемые гроссмейстерами для подготовки, могут просчитать отдельные варианты до 20-25 хода. Но всё равно «доигрывать» такую проанализированную компьютером партию людям приходится самостоятельно.
О чём это говорит? О том, что шахматы являются одной из самых сложных из всех заботящих человечество математических задач.
Причём, когда мы говорим о математике, то подразумеваем не столько алгебру, сколько геометрию. Перейдём к рассмотрению геометрических задач.
Домино на шахматной доске
Условие задачи:
Одна костяшка домино покрывает две клетки шахматной доски. Покрыть 31 костяшкой все клетки, кроме двух противоположных (на одной диагонали). Шахматная доска состоит из 8×8 = 64 клеток.
Ответ:
Можно было бы заняться алгебраическими рассуждениями, но шахматное решение гораздо проще. При любом покрытии доски каждое домино покрывает одно белое и одно черное поле. У нас же черных полей на два больше, чем белых, и поэтому необходимого покрытия не существует! Таким образом, раскраска доски не только позволяет шахматисту легче ориентироваться во время игры, но и служит средством решения математических головоломок. Итак, правильный ответ: покрыть нельзя.
Задача о домино относится к целому классу геометрических задач. Рассмотрим ещё одну задачу, которая принадлежит к большому классу задач, условно называемых «задачи на разрезание».
Четыре алмаза
Один восточный властелин был таким искусным игроком, что за всю жизнь потерпел всего четыре поражения. В честь своих победителей, четырех мудрецов, он приказал вставить в его шахматную доску четыре алмаза – на те поля, на которых был заматован его король.
После смерти властелина его сын решил отомстить мудрецам, обыгравшим его отца. Он велел разделить им шахматную доску с алмазами на четыре одинаковые по форме части так, чтобы каждая заключала в себе по одному алмазу. Он думал, что это невозможно сделать, но шахматисты – мудрецы легко выполнили требование нового властелина, чем спасли свои жизни.
Условие задачи: разрезать доску на четыре одинаковые части (совпадающие при наложении) так, чтобы на каждой из них оказалось по одному коню. Предполагается, что разрезы проходят только по границам между вертикалями и горизонталями доски.
Решение: одно из решений задачи представлено на рисунке.
Располагая четырех коней на различных полях доски, можно получить множество задач о разрезании. Интерес в них представляет не только нахождение одного необходимого разреза, но и подсчет числа всех способов разрезать доску на четыре одинаковые части, содержащие по одному коню. Установлено, что наибольшее число решений (800) задача имеет при расположении коней в углах доски.
Представленные мною сегодня математические шахматные задачи — это лишь капля в огромном море подобных задач. Постоянно решая математические задачи в процессе шахматной игры (а шахматисты делают это ежесекундно, в процессе поиска лучшего хода), вы разовьёте в себе математические способности. А это, в свою очередь, поможет успешно учиться в школе. Желаю успехов в шахматах и математике!
